【三角函数的公式有哪些】在数学中，三角函数是研究三角形和周期性现象的重要工具。它们不仅在几何学中广泛应用，在物理、工程、计算机科学等领域也扮演着关键角色。掌握常见的三角函数公式，有助于解决各种实际问题。以下是对常见三角函数公式的总结。
一、基本三角函数定义
| 函数名称 | 定义式（直角三角形中） | 定义式（单位圆中） |
| 正弦（sin） | 对边 / 斜边 | y / r |
| 余弦（cos） | 邻边 / 斜边 | x / r |
| 正切（tan） | 对边 / 邻边 | y / x |
| 余切（cot） | 邻边 / 对边 | x / y |
| 正割（sec） | 斜边 / 邻边 | r / x |
| 余割（csc） | 斜边 / 对边 | r / y |
二、基本恒等式
| 公式名称 | 公式表达 |
| 倒数关系 | sinθ = 1/cscθ, cosθ = 1/secθ, tanθ = 1/cotθ |
| 商数关系 | tanθ = sinθ / cosθ, cotθ = cosθ / sinθ |
| 平方关系 | sin²θ + cos²θ = 1, 1 + tan²θ = sec²θ, 1 + cot²θ = csc²θ |
三、诱导公式（角度变换）
| 角度变换 | 三角函数值变化 |
| sin(π/2 - θ) | cosθ |
| cos(π/2 - θ) | sinθ |
| sin(π - θ) | sinθ |
| cos(π - θ) | -cosθ |
| sin(π + θ) | -sinθ |
| cos(π + θ) | -cosθ |
| sin(2π - θ) | -sinθ |
| cos(2π - θ) | cosθ |
四、和差角公式
| 公式名称 | 公式表达 |
| sin(A ± B) | sinAcosB ± cosAsinB |
| cos(A ± B) | cosAcosB ∓ sinAsinB |
| tan(A ± B) | (tanA ± tanB) / (1 ∓ tanAtanB) |
五、倍角公式
| 公式名称 | 公式表达 |
| sin2θ | 2sinθcosθ |
| cos2θ | cos²θ - sin²θ = 2cos²θ - 1 = 1 - 2sin²θ |
| tan2θ | 2tanθ / (1 - tan²θ) |
六、半角公式
| 公式名称 | 公式表达 |
| sin(θ/2) | ±√[(1 - cosθ)/2] |
| cos(θ/2) | ±√[(1 + cosθ)/2] |
| tan(θ/2) | ±√[(1 - cosθ)/(1 + cosθ)] = (sinθ)/(1 + cosθ) |
七、积化和差与和差化积
| 公式名称 | 公式表达 |
| 积化和差 | sinAcosB = [sin(A+B) + sin(A-B)] / 2 cosAsinB = [sin(A+B) - sin(A-B)] / 2 cosAcosB = [cos(A+B) + cos(A-B)] / 2 sinAsinB = -[cos(A+B) - cos(A-B)] / 2 |
| 和差化积 | sinA + sinB = 2sin[(A+B)/2]cos[(A-B)/2] sinA - sinB = 2cos[(A+B)/2]sin[(A-B)/2] cosA + cosB = 2cos[(A+B)/2]cos[(A-B)/2] cosA - cosB = -2sin[(A+B)/2]sin[(A-B)/2] |
八、其他常用公式
| 公式名称 | 公式表达 |
| 正弦定理 | a/sinA = b/sinB = c/sinC = 2R |
| 余弦定理 | c² = a² + b² - 2abcosC |
| 三角函数的周期性 | sin(θ + 2π) = sinθ, cos(θ + 2π) = cosθ, tan(θ + π) = tanθ |
通过以上内容可以看出，三角函数的公式种类繁多，但它们之间存在紧密的联系。熟练掌握这些公式，能够帮助我们在解题过程中更高效地进行计算和推理。对于初学者来说，建议从基础公式入手，逐步理解其应用与推导过程。